有名な天才（mathematician）

本当に彼らは西洋数学を知らなかったのか

私の考えは、戦略ファクターを中立にすることだった。私たちはポートフォリオの主成分分析をして、主要なファクターをニュートラルにしようとした

時間を積分したものが人生であり時間を微分したものが今である

数学がシンプルだということをみんなが信じないとしたら、それはただ人生がどんなに複雑かよくわかっていないからだ

基本的な算術の真であることを証明する、無矛盾の論理形式に合ったどんな理論に対しても、真である算術概念を組み立てることは可能であるが、その理論で証明することはできない。

つまり、ある表現力をもった無矛盾の理論はどれも不完全である。

単純に言えば、数学を用いて全てを証明はできないということだ。証明することのできない真実もある

記述法の発明と数学の発達は不可分の関係にある

数学の本質は自由にあり

深い森に分け入り、隠された宝物を探し出す。数学は、わくわくするゲームだ。知力を競い、最強の解法を目指す。数学は、どきどきするバトルだ

数式を読みながら、古の数学者が感じた感動を、僕も味わう。たとえ、数百年前に証明済みでもかまわない。いま、論理をたどりながら抱く思いは、間違いなく僕のものだ

公理的な幾何学では「点」とか「線」とか言ふ言葉は単に内容のない概念形式を意味するのに過ぎないのです。之等に内容を与へるものは、それは数学には属しません

数学があの偉大な外観を呈するのは他方に於いて次の事実があるからだと思ひます。それは数学のお陰で精密自然科学は初めて或る程度の確実さを獲得するものであって、数学なしには決してそれに達することは出来なかったのであるからです

数学の定理は実在の対象に関するものではなくて単に私たちの純粋の思惟に関するものです。それですから私たちが基礎定理やならびにそれから他の定理を導き出すべき手段に関して一致している限り、その論理的の結果において同一になるといふことは別に驚くには及ばないことです

数学は全ての他の科学の前に一つの理由から特殊な外観を誇っています。全ての他の科学は或る程度までは議論の余地があり、いつでも新しく発見された事実によりて覆されるといふ、危険に曝されているのに反して、数学の諸定理は絶対に確実であり、係争され得ないものであります

数学では論理的順序と歴史的順序が逆になっていることが多い。これは数学の学習上の注意点である。できあがるまでの順序とできあがった後でそれを記述するための順序が逆である。つまり、心理的順序と論理的順序が逆である

数学は理論に従って築きあげられたものであるが、数学を作りあげた主体は人間であることを忘れてはならない。論理に従って緻密に構成された数学の体系を解きほぐすためには、それを作りあげた人間の心理を探ってみる必要がある

数学の本質は表記でなく概念にある

わたしが数学をやるやり方は、手品をするやり方とよく似ている。どちらの場合も、制約のあるなかで問題を解かなければならない。数学では、自分が手にしているツールで筋の通った議論をしなければならないという限界があるし、手品では、手にしているツールと巧みな手業だけで自分がしていることを観客に悟られずにある種の結果をもたらすという縛りがある。それに、この二つの領域ではほとんど同じような知的過程を経て問題が解決される。手品と数学の違いは競争で、数学における競争のほうが、手品の競争よりはるかに熾烈だ

年を取りすぎてはだめなのだ。数学では、観察や熟考だけでなく創造性が重要だ。創造する力や創造しようという意欲を失った者は、数学からさしたる慰めを得られない。しかも数学者は、創造力をかなり早くに失うことが多いのである

神の考えを表すものでないかぎり、わたしにとって方程式は何の意味も持たない

試験はほんとうの数学ではなく、次の段階に進むために勝たなければならない技巧的なゲームに過ぎない

素数は音楽に分解できる、ということを数学的に表現するとリーマン予想になる。この数学の定理を詩的に述べると、素数はそのなかに音楽を持っている、ということになる。ただしその音楽は、近代概念では捉えきれないきわめてポストモダンなものである

数学者たちは形のない対象物を扱うに当たって、いわば第六感のように証明に頼るしかないのである

わたしはつねづね、数学者はまず観察者であると考えている。はるかな山域を眺めては、観察したものを書き記す人物だ

一見すると関係なさそうなテーマ同士が結びつくことは、どんな学問分野においてもそうであるように、数学においても建設的な意義をもっている。というのも、そんな結びつきが存在することは、両方のテーマをいっそう豊かにする基本的真理の存在をほのめかすからである

画家や詩人の作るパターンが美しいように、数学者の作るパターンも美しくなければならない。色や言葉と同様に、数学の概念は調和していなければならない。美こそは第一の試金石である。醜い数学に永住の地はない

証明とは、数学者がそれを前に自らを責め苛む崇拝物のことである

数学の創造は苦しみに満ちた神秘的な体験である。

証明すべきことがはっきりしている場合でも、そこに至る道筋は霧に包まれている。

数学者は怯えながら道をたどる。

計算すればつまずいてばかりだし、一歩一歩積み重ねてゆく論証にしても、まるで方向違いでないとはかぎらない。

そもそも目的地に至る道などないかもしれないのだ。

ある命題を正しいと信じて証明に何年も費やしたあげく、その命題は実は成り立たないことがわかる場合もあるだろう。

その数学者は、証明できないことを証明しようとしていたことになる

数学とは、整備されたハイウェーを着々と進むことではない。それは未開の地を旅することなのだ。探検家は往々にして道に迷うだろう。歴史家にとって厳密性は地図ができたしるしとなろう。だが地図ができるころには、真の探検家はどこか別の場所に行ってしまっているのである

言葉が滅んでも、数学の概念は滅びない。「不滅」とは愚かしい言葉かもしれないが、それが意味するものになる可能性は、たぶん数学者がいちばん高い

アインシュタインの特殊相対性理論から導かれるもっとも驚くべき結論のひとつは、時間という慣れ親しんだ概念は、根本的に間違っているということだ。

時間は絶対的に規則正しく、いつでもどこでも誰にとっても同じだと考えられていた。

これに対してアインシュタインは「ノー」と言った。

時間は伸びたり縮んだりし、人それぞれにとって流れ方が異なり、あなたの時間と私の時間は違う

数学者はいずれも、二つの異なった世界に住んでいる。いっぽうでは、完全に精神的で透明な世界に住んでいる。つまり、氷の世界のようなものだ。だが同時に、すべてがはかなく、曖昧で、変化してやまない、常識の世界にも住んでいる。数学者は、このふたつの世界を絶えず行き来している。彼らは精神の世界では立派な大人であるが、現実の世界では何もできない赤ん坊にすぎない

数学のアイデアは、さまざまな経験から生まれる。だが、ひとたび思いつかれると、その主題は、おもしろいことにひとり歩きをし、ほかの創造的アイデアとくらべても優れていると見なされ、やがて完全にといってよいほど、外観を整えることが優先されてしまう。数学の原理が一般に広まり「抽象性」がいっそう拡大すると、衰退の危機におちいる。そのときの唯一の治療法は、ふたたび原点まで戻ることだ、と思う。つまり多かれ少なかれ、ただちに経験的アイデアをまた注入すればよいのだ

数学の功績には二種類ある。数学史にとって有用なものと、単なる精神の勝利である

思考こそが一次言語であり、数学は二次言語である。数学は、思考の上に作られた、一つの言語に過ぎない

宇宙は数学という言語で書かれている。そしてその文字は三角形であり、円であり、その他の幾何学図形である。これがなかったら、 宇宙の言葉は人間にはひとことも理解できない。これがなかったら、人は暗い迷路をたださまようばかりである

数学は、科学へとつながる鍵とドアである

すべての物理学の理論は、数式は別にして「子供達でさえも理解できるように」簡単に説明するべきである

数学は確かによくできている。しかし、自然は常に私たちの鼻をつかんで引きずり回す

数学や文学や芸術でもっとも大切なのは、美と感動だと思う。これらは金もうけに役立たないし、病気を治すのにも、平和を達成するのにも、犯罪を少なくするのにもほとんど役立たない。しかし、はたして人間は金もうけに成功し、健康で、安全で豊かな生活を送るだけで、「この世に生まれてきてよかった」と心から思えるだろうか。「生まれてきたよかった」と感じさせるものは美や感動をおいて他にはないだろう

アラビア数字は数学を民主化した

数学が扱うのは順序と関係である

数学的創造の原動力は、思考力ではなく想像力だ

幾何学は世界の美しさの見本である

数学は大胆な者を好む

数学は神が宇宙を書いたアルファベットだ

数学における最も偉大な発見は「複利」である

神はきわめてレベルの高い数学者であり、きわめて高等な数学を使って宇宙を構築した

一般相対性理論は、間違いとするにはあまりに美しすぎます

これで、世界で２番目に計算が上手な奴が生まれた

計算に夢中になっていて、さっき食べたのを忘れていた

すべてを疑うか、すべてを信じるかは、2つとも都合の良い解決法である。どちらでも我々は反省しないで済むからである

幾何学に王道なし

多くの言葉で少しを語るのではなく、少しの言葉で多くを語りなさい

言うべき時を知る人は、黙すべき時を知る

私は、言葉を話す前から、計算をしていた

僕に出された多くの問題はそれを見た瞬間に答えがわかった

神は計算をされている

他の人でも私のように深く、絶えず数学的真理に没頭すれば、同様になることができるはずです

数学は科学の女王であり、数論は数学の女王である

宗教のために行われる罪でなければ、人間はあれほど完全に楽しそうに悪事を行わない